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$\textbf{2)}$ Buscamos las raíces de $f(x)$ igualando la función a cero
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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.2.
De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ
l) $f(x)=x^{2} \ln (x)$
l) $f(x)=x^{2} \ln (x)$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $(0,+\infty)$
$x^{2} \ln (x) = 0$
Esta multiplicación da $0$ si alguno de los factores es cero, es decir, si \( x^2 = 0 \) o si \( \ln(x) = 0 \). La primera condición se satisface para \( x = 0 \), pero esto no está en el dominio de nuestra función! Así que la única raíz va a salir de plantear
$\ln(x) = 0 \rightarrow x = 1$
Por lo tanto, \( x = 1 \) es una raíz de la función \( f(x) \).
$\textbf{3)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( 0 < x < 1 \)
b) \( x > 1 \)
$\textbf{4)}$ Evaluamos el signo de \( f(x) \) en cada uno de los intervalos:
Para (\( 0 < x < 1 \)), tomemos \( x = \frac{1}{2} \):
\( f\left(\frac{1}{2}\right) < 0 \)
Para (\( x > 1 \)), tomemos por ejemplo \( x = 2 \):
\( f(2) > 0 \)
Por lo tanto,
Conjunto de positividad: $(1,+\infty)$
Conjunto de negatividad: $(0,1)$