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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.2. De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ
l) f(x)=x2ln⁡(x)f(x)=x^{2} \ln (x)

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es (0,+∞)(0,+\infty)

2)\textbf{2)} Buscamos las raíces de f(x)f(x) igualando la función a cero

x2ln⁡(x)=0x^{2} \ln (x) = 0

Esta multiplicación da 00 si alguno de los factores es cero, es decir, si x2=0 x^2 = 0 o si ln⁡(x)=0 \ln(x) = 0 . La primera condición se satisface para x=0 x = 0 , pero esto no está en el dominio de nuestra función! Así que la única raíz va a salir de plantear 

ln⁡(x)=0→x=1\ln(x) = 0 \rightarrow x = 1

Por lo tanto, x=1 x = 1 es una raíz de la función f(x) f(x) .

3)\textbf{3)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f(x)f(x) es continua y no tiene raíces:

a) 0<x<1 0 < x < 1 b) x>1 x > 1

4)\textbf{4)} Evaluamos el signo de f(x) f(x) en cada uno de los intervalos: Para (0<x<1 0 < x < 1 ), tomemos x=12 x = \frac{1}{2} : f(12)<0 f\left(\frac{1}{2}\right) < 0 Para (x>1 x > 1 ), tomemos por ejemplo x=2 x = 2 : f(2)>0 f(2) > 0 Por lo tanto, Conjunto de positividad: (1,+∞)(1,+\infty) Conjunto de negatividad: (0,1)(0,1)

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